王者从天上掉下鱼技能（xy2在x2+y2=4的定义域内的二重积分为多少）

1、王者从天上掉下鱼技能

2、xy2在x2+y2<=4的定义域内的二重积分为多少

要计算二重积分，我们需要将积分区域划分为一个或多个子区域，并在每个子区域中计算积分。

步骤 1：确定积分区域

给定的定义域是一个圆盘，其半径为 2。因此，积分区域可以表示为：

x^2 + y^2 <= 4

步骤 2：划分子区域

我们可以将积分区域划分为两个子区域：

第一象限：x >= 0, y >= 0

第二象限：x <= 0, y >= 0

步骤 3：计算积分

对于第一象限，积分区域可以表示为：

```

0 <= x <= 2

0 <= y <= sqrt(4 - x^2)

```

二重积分变为：

```

?xy^2 dA = ∫0^2 ∫0^sqrt(4-x^2) xy^2 dy dx

```

求内层积分：

```

∫0^sqrt(4-x^2) xy^2 dy = [x (y^3)/3] from y=0 to y=sqrt(4-x^2)

= x (4 - x^2)^(3/2)/3

```

求外层积分：

```

∫0^2 x (4 - x^2)^(3/2)/3 dx

```

这是一个换元积分，令 u = 4 - x^2，du = -2x dx。于是积分变为：

```

∫2^0 (2 - sqrt(u))^(3/2)/3 (-1/2) du

= ∫0^2 (sqrt(u) - 2)^(3/2)/3 du

```

令 v = sqrt(u)，dv = 1/2sqrt(u) du。于是积分变为：

```

∫0^4 (v - 2)^(3/2)/3 2 dv

= [2/5 (v - 2)^(5/2)] from v=0 to v=4

= 32/5

```

因此，第一象限的二重积分结果为 32/5。

对于第二象限，积分区域可以表示为：

```

-2 <= x <= 0

0 <= y <= sqrt(4 - x^2)

```

二重积分变为：

```

?xy^2 dA = ∫-2^0 ∫0^sqrt(4-x^2) xy^2 dy dx

```

按照与第一象限相同的步骤，我们可以得到第二象限的二重积分结果也是 32/5。

步骤 4：求和

因此，整个定义域内的二重积分结果为：

```

?xy^2 dA = (32/5) + (32/5) = 64/5

```

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张良

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